Почему касательная прямая важна в дифференциальной геометрии?

Касательная прямая важна в дифференциальной геометрии, потому что с её помощью можно определить кривизну кривой. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru

При движении вдоль кривой её касательная меняет направление. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru Скорость этого вращения (отношение угла поворота касательной за бесконечно малый промежуток времени к этому промежутку) при равномерном, с единичной скоростью, движении вдоль кривой называется кривизной кривой. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru

Кривизна наглядно показывает, насколько (в данной точке) кривая отличается от прямой линии: чем ближе кривизна к нулю, тем это отличие меньше. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru

Кроме того, касательная к кривой является мгновенной осью вращения соприкасающейся плоскости при движении вдоль кривой в окрестности заданной точки. ru.ruwiki.ru Скорость вращения соприкасающейся плоскости при равномерном, с единичной скоростью, движении называется кручением. ru.ruwiki.ru