Почему функция может достигать локальных минимумов и максимумов на отрезке?

Функция может достигать локальных минимумов и максимумов на отрезке из-за изменения знака её производной в определённых точках. 23

Чтобы в точке был локальный максимум, производная функции в этой точке должна менять знак с плюса на минус. 2 Для локального минимума — с минуса на плюс. 2 При этом значение самой производной в этой точке должно равняться нулю. 2

Это значит, что в некоторой окрестности точки экстремума (и слева, и справа от неё) функция будет принимать наибольшее или наименьшее значение, но только в окрестности этой точки. 3 И совсем необязательно это будет наибольшее или наименьшее значение всей функции. 3