Почему формула Пика не применима для вычисления объемов в трехмерном пространстве?

Формула Пика не применима для вычисления объёмов в трёхмерном пространстве, потому что объём многогранника с целыми вершинами не выражается через количества вершин внутри, на гранях и рёбрах. habr.com

Это было доказано с помощью контрпримера, предложенного Ривом в 1957 году. imit-omsu.livejournal.com fb.ru Он рассмотрел тетраэдр, который не содержит внутри ни одной точки с целочисленными координатами, а на его границе лежат только четыре точки. imit-omsu.livejournal.com Объём и площадь поверхности этого тетраэдра могут быть разными, в то время как число точек внутри и на границе — неизменны. imit-omsu.livejournal.com

Однако существуют обобщения формулы Пика для определения объёмов тел в трёхмерном пространстве и даже в пространствах более высоких размерностей — многочлены Эрхарта. elementy.ru fb.ru Они позволяют вычислить объём целочисленного многогранника через числа точек внутри него и на гранях, но значительно сложнее формулы Пика и справедливы далеко не для всех многогранников. fb.ru