Почему форма бутылки Клейна оказалась революционной в математике?

Форма бутылки Клейна оказалась революционной в математике, потому что она представила новый тип поверхности — одностороннюю, у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами. 13

Некоторые свойства бутылки Клейна, которые делают её необычной:

• Непрерывность. 1 Любая точка может быть соединена с любой другой точкой, и при этом не придётся пересекать границу. 1
• Односторонность. 1 Двигаясь по поверхности бутылки в одном направлении, можно попасть в место, перевёрнутое по отношению к исходному. 1
• Ориентируемость. 1 Объект, следующий по бутылке, вернётся к началу своего пути в зеркальном отражении самого себя. 1
• Независимость от размеров. 2 Объект можно увеличить, уменьшить, сжать или растянуть, но он всё равно не изменит своих математических свойств. 2

Благодаря открытию бутылки Клейна математик Феликс Клейн дал начало новой отрасли геометрии — топологии, которая исследует произвольные непрерывные преобразования. 1