Евклидовы кольца являются областями главных идеалов, потому что в них можно выбрать в идеале элемент наименьшей нормы. 2

Доказательство:

Очевидно, что нулевой идеал является главным. 3 Пусть I — ненулевой идеал кольца R, и пусть u — наименьший по норме ненулевой элемент идеала I. 3 Остаток при делении на u любого элемента идеала I принадлежит идеалу I, следовательно, может быть только нулём. 3 Это означает, что I = (u). 3

Таким образом, каждое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. 23