Почему евклидовы кольца являются областями главных идеалов?

Евклидовы кольца являются областями главных идеалов, потому что в них можно выбрать в идеале элемент наименьшей нормы. math.hse.ru

Доказательство:

Очевидно, что нулевой идеал является главным. halgebra.math.msu.su Пусть I — ненулевой идеал кольца R, и пусть u — наименьший по норме ненулевой элемент идеала I. halgebra.math.msu.su Остаток при делении на u любого элемента идеала I принадлежит идеалу I, следовательно, может быть только нулём. halgebra.math.msu.su Это означает, что I = (u). halgebra.math.msu.su

Таким образом, каждое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. math.hse.ru halgebra.math.msu.su