Додекаэдр невозможно обойти, пройдя по каждому ребру ровно один раз, потому что все рёбра додекаэдра нечётные. 4

Чтобы обойти все рёбра и вернуться в исходную вершину, нужно пройти по каждому ребру хотя бы один раз. 2 При этом количество входящих в вершину рёбер должно быть равно количеству выходящих. 4 У додекаэдра из каждой вершины выходят по три ребра, то есть количество рёбер у каждой вершины — нечётное число. 34

По теореме о существовании эйлерова цикла, число рёбер, которые нужно пройти дважды, равно половине числа вершин с нечётной степенью. 2 В додекаэдре 20 вершин, все с нечётной степенью (3), поэтому нужно пройти 20/2 = 10 рёбер дважды. 2