Почему для некоторых функций не существует аналитического интеграла?

Для некоторых функций не существует аналитического интеграла, потому что они не попадают в класс элементарных функций и их композиций, а поэтому с ними нельзя свободно действовать. 1 Приходится либо представлять их в виде рядов, либо обозначать и вытаскивать их свойства из самих уравнений, либо пользоваться приближениями. 1

Также существует математическая теорема под названием «Теорема Лиувилля», которая гласит, что определённые функции не будут иметь аналитических интегралов. 2

Например, интеграла от функции sinх/х в аналитическом виде не существует. 1 Поэтому ввели новую функцию, которой дали обширную таблицу в подобие тригонометрических функций. 1

При этом есть мнение, что некоторые неаналитически интегрируемые функции могут иметь аналитические интегралы, но их ещё не обнаружили. 2 Например, возможно, в будущем будут открыты новые теоремы в математике, которые дадут аналитические интегралы для функций, которые в настоящее время считаются неаналитически интегрируемыми. 2