Почему для некоторых функций не существует аналитического интеграла?

Для некоторых функций не существует аналитического интеграла, потому что они не попадают в класс элементарных функций и их композиций, а поэтому с ними нельзя свободно действовать. otvet.mail.ru Приходится либо представлять их в виде рядов, либо обозначать и вытаскивать их свойства из самих уравнений, либо пользоваться приближениями. otvet.mail.ru

Также существует математическая теорема под названием «Теорема Лиувилля», которая гласит, что определённые функции не будут иметь аналитических интегралов. math.stackexchange.com

Например, интеграла от функции sinх/х в аналитическом виде не существует. otvet.mail.ru Поэтому ввели новую функцию, которой дали обширную таблицу в подобие тригонометрических функций. otvet.mail.ru

При этом есть мнение, что некоторые неаналитически интегрируемые функции могут иметь аналитические интегралы, но их ещё не обнаружили. math.stackexchange.com Например, возможно, в будущем будут открыты новые теоремы в математике, которые дадут аналитические интегралы для функций, которые в настоящее время считаются неаналитически интегрируемыми. math.stackexchange.com