Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность. 15

Доказательство:

1. Пусть в четырёхугольнике АВСD АВ + СD = ВС + АD. 5
2. Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон АD, АВ и ВС (свойство биссектрис). 5
3. Поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трёх сторон. 5
4. Нужно доказать, что эта окружность касается также стороны СD и, значит, является вписанной в четырёхугольник АВСD. 5

Если предположение, что это не так, неверно, то в четырёхугольнике С1СDD1 одна сторона будет равна сумме трёх других сторон. 5 Но этого не может быть, так как каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон. 5

Таким образом, предположение ошибочно, и окружность касается стороны СD. 5 Что и требовалось доказать. 5