Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, потому что это следует из теоремы о вписанном угле. 24

Доказательство этой теоремы можно провести, рассмотрев три случая, в зависимости от положения центра окружности относительно вписанного угла: 1

1. Центр окружности лежит на стороне угла. 1 Так как отрезки, которые являются радиусами окружности, — это стороны равнобедренного треугольника, то угол, который является внешним для этого треугольника, равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. 13 Таким образом, вписанный угол равен половине центрального угла, а значит, половине дуги, на которую он опирается. 1
2. Центр окружности находится внутри угла. 1 В этом случае вписанный угол равен сумме двух вписанных углов, у каждого из которых одна из сторон проходит через центр окружности. 1 Тогда вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, и половине центрального угла, опирающегося на одну с ним дугу. 1
3. Центр окружности лежит вне угла. 1 В этом случае вписанный угол равен разности двух вписанных углов, стороны которых проходят через центр окружности. 1

Таким образом, вписанный угол всегда равен половине дуги, на которую он опирается, и половине центрального угла, опирающегося на одну с ним дугу. 1