Большинство алгебраических уравнений не имеют решения в целых числах по разным причинам, например:

• Если при любых целых значениях переменных левая часть уравнения делится на два, а правая — нечётное число. 3 Например, уравнение 10х + 10у = 2019 не имеет решений в целых числах, так как при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая — нечётное число. 3
• Если в уравнении наибольший общий делитель (НОД) чисел больше 1, а число, на которое делится правая часть уравнения, не делится на НОД. 5 Например, уравнение 3х + 6у = 5 не имеет целых решений, так как НОД (3; 6) = 3, а 5 не делится на 3 без остатка. 4

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений с одним неизвестным, для уравнений первой степени и для уравнений второй степени с двумя неизвестными. 4 Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными трудной является даже задача доказательства существования целочисленных решений. 4