Почему биссектриса угла является геометрическим местом точек, равноудаленных от его сторон?

Биссектриса угла является геометрическим местом точек, равноудалённых от его сторон, потому что выполняются два утверждения: 13

1. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны. 13
2. Если у какой-нибудь точки расстояния до сторон угла равны, то эта точка обязательно лежит на биссектрисе. 13

Доказательство первого утверждения: 1

1. Рассмотрим произвольный угол с вершиной и биссектрисой. 1
2. Проведём из точки на биссектрисе перпендикуляры к сторонам угла. 1
3. Получим два прямоугольных треугольника. 1
4. У них общая гипотенуза и равные углы: по условию (поскольку это биссектриса), по построению и поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90 градусам. 1
5. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (см. признаки равенства треугольников). 1
6. Поэтому расстояния от точки до сторон угла действительно равны. 1

Доказательство второго утверждения: 1

1. Пусть дан угол и точка, равноудалённая от сторон этого угла. 1
2. Проведём луч внутри угла. 1
3. Снова получим два прямоугольных треугольника. 1
4. Очевидно, что они равны, поскольку:

• гипотенуза — общая; 1
• катеты равны по условию (ведь точка равноудалена от сторон угла); 1
• оставшиеся катеты тоже равны, так как по теореме Пифагора. 1

1. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам. 1
2. В частности, равны их углы, а это как раз и означает, что луч — биссектриса. 1

Таким образом, утверждение о том, что биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, доказано. 1