Почему бесконечномерные пространства важны для функционального анализа?

Бесконечномерные пространства важны для функционального анализа, потому что их изучение и их отображений является главной задачей этого раздела. ru.wikipedia.org

Вот ещё несколько причин:

• Возможность связать дифференциальные, интегральные, разностные и другие уравнения с рассмотрением преобразований пространств. bigenc.ru Это привело к созданию общей теории операторов. bigenc.ru
• Многообразие линейных операторов на бесконечномерных пространствах, среди которых важные для построения различных моделей интегральные и дифференциальные операторы. elar.urfu.ru
• Приложения в смежных областях математики и математической физики. www.hse.ru Например, пространства Соболева, изучаемые в функциональном анализе, играют важную роль в теории дифференциальных уравнений с частными производными. www.hse.ru
• Возможность предлагать практические методы для решения сложных задач. math.stackexchange.com Теория бесконечномерных пространств хорошо работает и предлагает эффективные методы для решения задач, в том числе в квантовой механике и дифференциальных уравнениях. math.stackexchange.com