Почему бесконечное множество вещественных чисел R обладает большей мощностью, чем множество целых чисел Z?

Бесконечное множество вещественных чисел R обладает большей мощностью, чем множество целых чисел Z, потому что его мощность равна континууму, в то время как мощность любого бесконечного множества целых чисел (например, множества простых чисел) можно определить методом пересчёта элементов, присвоив им номера. 3

Таким образом, мощность множества вещественных чисел, которая определяется на основе взаимных отображений элементов, больше, чем у множества целых чисел, для которого такой метод возможен.

Это относится не только к множеству чисел на всей числовой оси, но и к множеству на ограниченном промежутке, например, отрезке [0, 1]. 2

Также примером множества, которое может быть более мощным, чем множество действительных чисел R, является множество всех подмножеств этого множества или множество всех вещественных (не обязательно непрерывных) функций R->R. 5