Базис Гамеля и базис Шаудера имеют разные применения в математике, потому что в их определениях рассматриваются разные виды линейных комбинаций: 12

• Базис Гамеля рассматривает только конечные линейные комбинации и применяется в основном в абстрактной алгебре. 12
• Базис Шаудера рассматривает и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в ряды, и используется в основном в функциональном анализе, в частности, для гильбертова пространства. 12

Таким образом, базис Гамеля подходит для общих линейных пространств, где допускаются только конечные суммы, а базис Шаудера — для топологических векторных пространств, где допускается разложение в сходящийся ряд. 12