Определённый интеграл это площадь криволинейной фигуры, результат можно доказать используя метод трапеций; но ПОЧЕМУ интегрирование так работает?

Интегрирование работает, позволяя находить площадь криволинейной фигуры, потому что интеграл — это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых. zaochnik.ru

Например, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции, нужно разбить её на бесконечно малые отрезки. zaochnik.ru Таким образом фигура окажется разделённой на тонкие столбики. zaochnik.ru Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. zaochnik.ru

Чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. zaochnik.ru Если уменьшить их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. zaochnik.ru Это и есть определённый интеграл. zaochnik.ru

Таким образом, интегрирование позволяет находить площади и объёмы, учитывая, что в природе практически не существует ничего прямого и постоянного: процессы изменяют свою скорость, а материальные объекты сплошь и рядом неправильной формы. skillbox.ru