Размерности Лебега, Хаусдорфа и Минковского отличаются по своему определению и назначению:

1. Размерность Лебега (топологическая размерность) — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. 7 Для компактного метрического пространства X размерность Лебега определяется как наименьшее целое число n, обладающее тем свойством, что при любом ε>0 существует конечное открытое ε-покрытие X, имеющее кратность ⩽ n+1. 7
2. Размерность Хаусдорфа — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. 1 Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. 1 Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом. 1
3. Размерность Минковского (грубая размерность ограниченного множества в метрическом пространстве) — это предел отношения логарифмов минимального числа множеств диаметра ε, необходимых для покрытия множества, к этому диаметру при ε стремящемся к нулю. 25 Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского. 5