Гипотезу Пуанкаре доказал российский математик Григорий Яковлевич Перельман в серии статей 2002–2003 годов. 24

Метод доказательства основан на использовании потока Риччи — определённого уравнения в частных производных, похожего на уравнение теплопроводности. 2 Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. 2 Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. 2

При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею», а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи. 2

После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент (2024 год) решённой задачей тысячелетия. 2