Эллиптические кривые сыграли важную роль в доказательстве Великой теоремы Ферма, помогши установить связь между модулярными формами и эллиптическими функциями. 25

Японские математики Ютака Танияма и Горо Шимура обнаружили, что между этими понятиями есть соответствие. 5 Они выдвинули гипотезу, что каждой эллиптической кривой соответствует некоторая модулярная форма (это специальные математические объекты, обладающие многими симметриями). 2

Герхард Фрей связал гипотезу Таниямы с доказательством теоремы Ферма. 1 Он преобразовал уравнение Ферма в кубическое и обратил внимание на то, что эллиптическая кривая, полученная при помощи преобразованного уравнения, не может быть модулярной. 1

Кеннет Рибет доказал, что если теорема Ферма неверна, то соответствующая эллиптическая кривая противоречит гипотезе Таниямы–Шимуры. 2 Это означало, что как только будет доказана гипотеза, автоматически будет доказана теорема Ферма (от противного). 2

Эндрю Уайлс в 1993 году доказал гипотезу Таниямы–Шимуры, но не для всех эллиптических кривых, а для одного их класса — полустабильных. 2 Эллиптические кривые Фрея, если они существуют, то полустабильны, поэтому из доказательства Уайлса следовала Великая теорема Ферма. 2