Собственные векторы играют важную роль в матричных преобразованиях, в частности:

• Характеризуют линейное преобразование. 1 Собственные векторы и значения линейного преобразования служат для его описания и играют значимую роль во всех областях, где применяется линейная алгебра. 1
• Определяют установившееся состояние системы. 1 Если система представлена линейным преобразованием, выходные данные которого подаются в качестве входных данных для того же преобразования (обратная связь), то наибольшее собственное значение определяет долгосрочное поведение системы после многих применений линейного преобразования, а связанный с ним собственный вектор — установившееся состояние системы. 1
• Используются для разложения матрицы. 1 Например, с помощью собственных векторов и значений можно провести диагонализацию матрицы. 1
• Задают пространственные направления. 23 С геометрической точки зрения собственный вектор указывает в пространстве направление, которое при линейном преобразовании не меняется и вдоль которого пространство испытывает «растяжение». 3