Какую роль играют сечения в построении вещественных чисел?

Сечения играют важную роль в построении вещественных чисел, в частности в подходе Дедекинда. ru.wikipedia.org

Сечение в этом подходе — разбиение множества рациональных чисел на два подмножества: нижнее (левое) и верхнее (правое). ru.ruwiki.ru При этом каждое число из нижнего подмножества строго меньше всякого числа из верхнего. ru.wikipedia.org

Роль сечений:

• Если в нижнем подмножестве есть наибольший элемент, то сечение можно отождествить с этим рациональным числом. ru.ruwiki.ru
• В противном случае сечение определяет иррациональное число, которое больше всех чисел множества нижнего подмножества и меньше всех чисел множества верхнего подмножества. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru

Определив на множестве сечений арифметические операции и порядок, получают поле вещественных чисел, причём каждое сечение определяет одно и только одно вещественное число. ru.ruwiki.ru

Таким образом, сечения выступают как конкретные реализации, модели вещественных чисел, а само понятие вещественного числа определяется существующими для него математическими соотношениями. ru.wikipedia.org