Каковы основные свойства и применение ряда Фурье?

Основные свойства ряда Фурье: он прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций. ru.wikipedia.org

Применение ряда Фурье:

• В математике: в геометрии при решении задач в сферической геометрии, в математической физике при решении задач о малых колебаниях упругих сред. infourok.ru
• В обработке сигналов: изменение спектра сигнала позволяет очищать запись от шумов, компенсировать искажения сигнала различными устройствами звукозаписи, менять тембры инструментов, акцентировать внимание слушателей на отдельных партиях. infourok.ru
• В цифровой обработке изображений: размытие, подчёркивание границ, восстановление изображений, художественные эффекты (тиснение). infourok.ru
• В архитектуре: при исследовании колебательных процессов, например, для расчёта прочности, жёсткости и устойчивости элементов конструкций. infourok.ru
• В медицине: для проведения медицинского обследования с помощью кардиограмм, аппарата УЗИ. infourok.ru