Некоторые основные свойства гармонических функций:

• Принцип максимума. 15 Гармоническая функция в области достигает максимума и минимума только на её границе. 15 Во внутренней точке области у неё нет локального экстремума, за исключением случая постоянной функции. 15
• Дифференцируемость. 15 Гармоническая функция в области бесконечно дифференцируема в ней. 15
• Свойство среднего. 5 Если функция гармонична в некотором шаре с центром в точке, то её значение в этой точке равно среднему значению по границе шара или по самому шару. 5
• Теорема Лиувилля. 5 Гармоническая функция, определённая на пространстве и ограниченная сверху или снизу, постоянна. 5
• Линейные комбинации. 2 Линейные комбинации гармонических функций снова являются гармоническими. 2
• Аналитичность. 2 Все гармонические функции аналитичны, то есть могут быть локально выражены в виде степенных рядов. 2
• Равномерный предел. 2 Равномерный предел сходящейся последовательности гармонических функций по-прежнему остаётся гармоническим. 2