Каковы основные стратегии решения иррациональных неравенств с квадратными корнями?

Некоторые основные стратегии решения иррациональных неравенств с квадратными корнями:

1. Для неравенства вида √f(x) > √g(x). dzen.ru Так как функция y=√x монотонно возрастающая, то для решения неравенства необходимо с тем же знаком сравнить подкоренные выражения. dzen.ru Также нужно меньший корень проверить на существование, то есть подкоренное выражение меньшего корня должно быть неотрицательно. dzen.ru
2. Для неравенства вида √f(x) < g(x). dzen.ru Квадратный корень может быть меньше функции только при положительных значениях самой функции. dzen.ru Также необходимо проверить, что корень существует, то есть подкоренное выражение неотрицательно. dzen.ru И последнее, чтобы решить неравенство, нужно обе части возвести в квадрат с сохранением знака неравенства. dzen.ru
3. Для неравенства вида f(x) * √g(x) >=0. dzen.ru Для решения неравенства необходимо рассмотреть два случая. dzen.ru Если подкоренное выражение равно нулю, то всё произведение также равно нулю, при условии, что оставшиеся множители, содержащие переменную существуют. dzen.ru Равенство нулю произведения удовлетворяет исходному неравенству. dzen.ru Также подходит вариант, когда корень существует (и не равен нулю), а оставшиеся множители принимают неотрицательные значения. dzen.ru

При решении иррациональных неравенств важно следить за тем, чтобы преобразования были равносильными, то есть исходное неравенство заменялось таким, которое имеет то же множество решений. foxford.ru