Основное различие между «in the end of the week» и «at the end of the week» в современном английском языке заключается в контексте употребления. 1

At the end of the week чаще используется для обозначения конкретного момента времени, например вечера пятницы или субботы. 1 Эта фраза употребляется преимущественно в конце предложения как часть обстоятельства места или обстоятельства времени. 2

In the end of the week менее распространена и может использоваться в более общем или абстрактном смысле. 1 Так говорят, когда имеют в виду общий итог или результат недели, а не конкретный момент времени. 1

Таким образом, at the end of the week больше подходит для описания определённого времени, а in the end of the week — для общего описания недели. 1