Некоторые основные принципы работы с бесконечными рядами:

1. Предварительная проверка. 1 Если бесконечная сумма функции f сходится, то предел функции f равен 0. 1 Если предел не равен нулю, ряд расходится. 1 Однако обратное не верно: то, что предел равен нулю, не означает, что ряд обязательно сходится. 1 В этом случае необходима дальнейшая проверка. 1
2. Понятие сходимости. 5 Если при n → ∞ существует конечный предел последовательности частичных сумм членов ряда, то ряд называется сходящимся, а число — его суммой. 5 Если же частичная сумма не имеет конечного предела, то ряд расходится. 5
3. Методы определения сходимости: 1

• Метод сравнения. 1 Если у двух рядов, состоящих из положительных членов, бесконечная сумма одного сходится, и другой ряд меньше первого (для любого достаточно большого n), то сумма первого ряда также сходится. 1
• Метод сравнения пределов. 1 Если два ряда — ряды положительных чисел, и если существует предел отношения членов рядов, который больше 0, то оба ряда либо сходятся, либо расходятся. 1
• Метод отношения. 1 Если дан бесконечный ряд a(n), нужно найти следующий член ряда a(n+1). 1 Затем вычислить отношение последующего члена к предыдущему a(n+1)/a(n), в случае необходимости взяв его абсолютное значение. 1 Найти предел этого отношения при n стремящемся к бесконечности. 1 Если предел существует и конечен, это означает: если предел меньше единицы, ряд сходится; если предел больше единицы, ряд расходится. 1 Если предел равен единице, данный способ недостаточен (ряд может как сходиться, так и расходиться). 1

Выбор метода зависит от типа ряда и ситуации.