Основные критерии, определяющие количество решений в системе линейных уравнений:

1. Равенство коэффициентов при неизвестных и свободных членов. 1 Если они равны, то система имеет бесконечное множество решений. 1 Если же коэффициенты при неизвестных совпадают, а свободные члены нет, то система не имеет решений. 1 В остальных случаях система имеет одно решение. 1
2. Ранг системы. 34 Если ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. 4 Если ранг меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. 4

Это следует из теоремы Кронекера-Капелли: система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. 5