Каковы основные идеи и доказательства, связанные с формулой Пика?

Формула Пика — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, который позволяет находить площадь многоугольника с целочисленными вершинами. science-start.ru xn--d1ailn.xn--p1ai

Некоторые основные идеи, связанные с формулой Пика:

• Основное условие для применения: у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге (решётке), должны быть только целочисленные вершины, то есть они обязательно должны находиться в узлах решётки. science-start.ru
• Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве. science-start.ru xn--d1ailn.xn--p1ai
• Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат. science-start.ru xn--d1ailn.xn--p1ai

Некоторые доказательства формулы Пика:

• Доказательство для единичного квадрата. science-start.ru Для него S = 1, В = 0, Г = 4, формула верна. science-start.ru
• Доказательство для прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. science-start.ru multiurok.ru Пусть a и b — длины сторон прямоугольника. science-start.ru Тогда S = ab, В = (a–1) (b–1), Г = 2(a+b). science-start.ru Подстановка показывает, что формула Пика верна. science-start.ru
• Доказательство для прямоугольного треугольника с катетами, которые параллельны осям координат. science-start.ru Любой такой треугольник можно получить отсечением некоторого прямоугольника его диагональю. science-start.ru
• Доказательство для любого треугольника. science-start.ru Такой треугольник может быть превращён в прямоугольник приклеиванием к его сторонам прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат (надо не более 3 таких треугольников). science-start.ru
• Доказательство для произвольного многоугольника. science-start.ru Для доказательства разобьём его на треугольники с вершинами в целых точках. science-start.ru Для одного треугольника формула Пика доказана. science-start.ru Можно доказать, что при добавлении к многоугольнику треугольника формула Пика сохраняет свою корректность. science-start.ru Отсюда по индукции следует, что она верна для любого многоугольника. science-start.ru