Каковы основные идеи и доказательства, связанные с формулой Пика?

Формула Пика — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, который позволяет находить площадь многоугольника с целочисленными вершинами. 14

Некоторые основные идеи, связанные с формулой Пика:

• Основное условие для применения: у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге (решётке), должны быть только целочисленные вершины, то есть они обязательно должны находиться в узлах решётки. 1
• Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве. 14
• Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат. 14

Некоторые доказательства формулы Пика:

• Доказательство для единичного квадрата. 1 Для него S = 1, В = 0, Г = 4, формула верна. 1
• Доказательство для прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. 13 Пусть a и b — длины сторон прямоугольника. 1 Тогда S = ab, В = (a–1) (b–1), Г = 2(a+b). 1 Подстановка показывает, что формула Пика верна. 1
• Доказательство для прямоугольного треугольника с катетами, которые параллельны осям координат. 1 Любой такой треугольник можно получить отсечением некоторого прямоугольника его диагональю. 1
• Доказательство для любого треугольника. 1 Такой треугольник может быть превращён в прямоугольник приклеиванием к его сторонам прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат (надо не более 3 таких треугольников). 1
• Доказательство для произвольного многоугольника. 1 Для доказательства разобьём его на треугольники с вершинами в целых точках. 1 Для одного треугольника формула Пика доказана. 1 Можно доказать, что при добавлении к многоугольнику треугольника формула Пика сохраняет свою корректность. 1 Отсюда по индукции следует, что она верна для любого многоугольника. 1