«Берёзонька» — уменьшительно-ласкательная форма существительного «берёза». ru.wiktionary.org sanstv.ru
Этимология слова «берёза» связана с праславянской формой «berza» или «berzā», которая, в свою очередь, восходит к праиндоевропейскому корню |bherHǵ- / |bherH₂ǵ-, означающему «светлый», «сияющий» или «блестящий». dzen.ru Это связано с тем, что берёза — дерево со светлой, почти белой корой. dzen.ru
Слово «берёзонька» является суффиксальным производным от «берёза». ru.wiktionary.org Корень слова — «берёз-», суффикс — «-оньк», окончание — «-а». ru.wiktionary.org