Самое простое доказательство основной теоремы алгебры даётся методами комплексного анализа. 12 Используется тот факт (теорема Лиувилля), что ограниченная функция, аналитическая на всей комплексной плоскости (целая функция) и не имеющая особенностей на бесконечности, — константа. 12

Поэтому функция 1/p(z), где p(z) — многочлен, не сводящийся к константе, должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен p(z) имеет хотя бы один корень. 12

К. Ф. Гаусс первый доказал основную теорему алгебры без предположения, что корни существуют. 3 Его доказательство, по существу, содержит построение поля разложения многочлена. 3