Какое значение имела лемма Гейне — Бореля для развития математики?

Лемма Гейне — Бореля о конечном покрытии является одним из фундаментальных утверждений анализа и имеет важное значение для развития математики. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org

Некоторые аспекты влияния леммы на математику:

• Помощь в доказательстве ряда результатов. ru.ruwiki.ru Лемма позволяет применять её в случаях, когда нужно распространить какое-либо локальное свойство на всё множество. ru.ruwiki.ru
• Определение компактных топологических пространств. ru.ruwiki.ru Свойство Гейне — Бореля было принято за определение компактного топологического пространства. ru.ruwiki.ru
• Доказательство теоремы о равномерной непрерывности. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org Для этого использовали тот факт, что если отрезок покрыт бесконечным числом интервалов, то среди них можно выбрать конечное число, также покрывающее данный отрезок. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org

История леммы Гейне — Бореля началась во второй половине XIX века, когда математики искали надёжные основы для строгого построения математического анализа. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org