Практическое применение теоремы Вейерштрасса в функциональном анализе заключается в исследовании функционального ряда на равномерную сходимость и нахождении области его равномерной сходимости. 1

Например, с помощью этого признака можно, например, доказать, что ряд Фурье 2π-периодической непрерывно дифференцируемой функции сходится к ней равномерно на всей числовой прямой. 2