Некоторые задачи на вписанные углы, которые встречаются в олимпиадах по геометрии:

• Задача 1. 1 На хорде AB окружности с центром в точке O отмечена точка X. 1 Описанная окружность треугольника AXXO пересекает окружность в точках A и Y, причём точки O и Y лежат по разные стороны от прямой AB. 1 Доказать, что XY = XB. 1
• Задача 2. 2 В треугольнике ABC угол B равен 36°, а точки K, M, N — точки касания вписанной окружности со сторонами AB, BC и AC соответственно. 2 Найти величину угла KNM. 2
• Задача 3. 3 Диагонали AC и BD пересекаются в точке E. 3 Описанная окружность треугольника ADE пересекает сторону AB в точке P и продолжение стороны CD в точке Q. 3 Найти отношение отрезков AP и DQ. 3
• Задача 4. 4 Окружность с центром O проходит через концы гипотенузы прямоугольного треугольника и пересекает его катеты в точках M и K. 4 Доказать, что расстояние от точки O до прямой MK равно половине гипотенузы. 4