Некоторые задачи, которые могут быть решены с использованием свойств диагоналей прямоугольника:

1. Задача 1. Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. 1 Найдите AC, если BO = 7, AB = 6. 1Решение. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть BO = OD, AC = BD. 1 Тогда длина диагонали равна AC = BD = BO + OD = 2BO = 2⋅7 = 14. 1

2. Задача 2. Диагональ прямоугольника образует угол 44° с одной из его сторон. 1 Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. 1Решение. Так как прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые, то его диагонали равны. 3 Значит, треугольник DOC — равнобедренный, и ∠OCD = ∠ODC = 44°. 1 Тогда один из углов между диагоналями равен ∠DOC = 180° − ∠OCD − ∠ODC = 180° − 44° − 44° = 92°. 1 При этом другой угол между диагоналями равен 180° − 92° = 88°. 1 Таким образом, острый угол между диагоналями равен 88°. 1

3. Задача 3. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. 3 Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. 3Решение. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. 3 Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. 3 Для этого достройте чертёж до прямоугольника. 3 Поскольку диагонали прямоугольника равны и делятся пополам в точке пересечения, отрезки CM, BM и AM тоже будут равны. 3 Каждый из них равен половине диагонали прямоугольника. 3 Тогда треугольник BMC — равнобедренный, и угол BMC равен 24°. 3 По свойству высоты, проведённой из вершины прямого угла, угол ACH = угол ABC = 24°. 3