Стилистические различия между «затем чтобы» и «для того чтобы» заключаются в том, что первый союз можно заменить на второй по смыслу. 1

«Затем чтобы» используется, когда нужно выразить целевые отношения, например: «Он вышел во двор, затем чтобы поздороваться с соседом». 14 В таких случаях его можно поменять на «для того чтобы». 1

«Для того чтобы» употребляется, когда присоединяет придаточную часть сложноподчинённого предложения, в которой сообщается цель, для достижения которой совершается действие в главной части. 2 Например: «Прошу вас приехать, для того чтобы обсудить детали». 3

Таким образом, выбор между этими союзами зависит от конкретного контекста и желаемого выражения смысловых отношений.