Некоторые способы решения сложных интегралов с помощью интегрирования по частям:

1. Представление выражения под интегралом в качестве произведения функции u(x) и дифференциала функции v(x). 1 После этого вычисляется значение функции v(x) каким-либо методом (чаще всего применяется метод непосредственного интегрирования). 1 Полученные выражения подставляются в формулу, сводя исходный интеграл к разности. 1 Полученный в итоге интеграл также можно взять, используя любой метод интегрирования. 1
2. Вывод рекуррентных формул для нахождения первообразных функций, когда требуется понизить степень функций под знаком интеграла. 2 Понижение степени необходимо, когда не существует табличных интегралов для таких, например, функций, как синусы и косинусы в степени более второй и их произведения. 2 Так, если подынтегральная функция — синус в четвёртой степени от x, то методом интегрирования по частям можно найти формулу для интеграла синуса в третьей степени и так далее. 2
3. Решение определённых интегралов в два этапа: 3
4. На первом этапе находится неопределённый интеграл путём интегрирования по частям. 3
5. На втором этапе проводится проверка (обычно на черновике) — дифференцируется ответ, и если получена исходная подынтегральная функция, значит, первообразная найдена верно. 3
6. На третьем этапе применяется формула Ньютона-Лейбница. 3

Наиболее сложным в применении данного метода является выбор, какую именно часть исходного выражения под интегралом взять в качестве u(x), а какую — d(v(x)). 1 В остальных случаях это приходится определять самостоятельно. 1