Некоторые способы построения правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки:

1. Построение правильного (или равностороннего) треугольника. 1 С помощью линейки строят две взаимоперпендикулярные прямые. 1 Точку пересечения прямых обозначают как центр окружности (точка С). 1 С помощью циркуля строят окружность с центром в точке С. 1 Точки пересечения вертикальной осевой линии и окружности обозначают Е и D. 1 Раствором циркуля, равным радиусу, с центром в точке D строят окружность. 1 Точки пересечения с первой окружностью обозначают F и G. 1 Соединив линиями точки E, F, G, получают правильный или равносторонний треугольник. 1
2. Построение правильного четырёхугольника или квадрата. 1 С помощью линейки строят две взаимоперпендикулярные прямые. 1 Точку пересечения прямых обозначают как центр окружности (точка А). 1 С помощью циркуля строят окружность с центром в точке А. 1 Точки пересечения прямых и окружности обозначают Е, C, F и D. 1 Эти точки делят окружность на четыре равные части. 1 Соединив полученные четыре точки E, C, F и D между собой отрезками, получают правильный четырёхугольник или квадрат. 1
3. Построение правильного пятиугольника. 12 С помощью линейки строят две взаимоперпендикулярные осевые линии окружности. 1 В точке пересечения линий обозначают точку А — центр окружности. 1 С помощью циркуля строят окружность с центром в точке А. 1 Точки пересечения осевых линий и окружности обозначают B, Е, С D. 1 Раствором циркуля, равным радиусу, строят окружность с центром в точке В. 1 Соединяют точки пересечения дуги и окружности FG. 1 Эта линия разделит радиус BA пополам. 1 Эту точку пересечения обозначают H. 1 Из точки H раствором циркуля, равным длине отрезку HE, проводят окружность, которая пересекает AC в точке J. 1 Длина отрезка EJ будет равна одной пятой длины окружности. 1 Раствором циркуля, равным длине отрезка EJ из точки E последовательно делают засечки на окружности и соединяют полученные точки E, C, M, F, N, B между собой отрезками, получают правильный пятиугольник. 1
4. Построение правильного шестиугольника. 12 Рисуют циркулем произвольную окружность, затем в произвольном месте на этой окружности делают точку. 1 Не меняя раствора циркуля, ставят остриё в эту точку, отмечают на окружности следующую насечку, продолжают так до тех пор, пока не получат все 6 точек. 1 Теперь остаётся лишь соединить их между собой прямыми отрезками, и получится искомая фигура. 1
5. Удвоение числа сторон правильного многоугольника. 3 Дан правильный n-угольник А1…Аn. 3 Чтобы построить правильный 2n-угольник А1 В1 А2 В2…АnВn, то есть правильный многоугольник с числом сторон вдвое большим, чем у исходного: 3
6. Восстанавливают серединные перпендикуляры к двум соседним сторонам исходного многоугольника и находят точку О их пересечения. 3
7. Проводят окружность с центром в точке О и радиусом, равным ОА1. 3 Данная окружность пройдёт через все вершины многоугольника, так как является описанной около него. 3
8. При помощи серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника, опущенных из точки О, делят все его стороны и все дуги окружности, заключённые между его соседними вершинами, пополам. 3 Для этого достаточно опустить перпендикуляры из центра окружности на стороны и продлить их до пересечения с окружностью. 3
9. Точки В1, В2,…Вn пересечения серединных перпендикуляров с окружностью соединяют с вершинами многоугольника А1…Аn отрезками. 3
10. Полученная фигура и будет искомым правильным многоугольником, число сторон которого вдвое больше числа сторон исходного многоугольника. 3

Важно заметить, что не все правильные многоугольники могут быть построены таким образом. 3