Какие существуют способы подсчета количества фрагментов в системе квадратной мозаики?

Возможно, имелась в виду разделённая квадратная мозаика. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru Есть несколько способов её построения, которые могут помочь в подсчёте количества фрагментов:

• Деление каждого квадрата на четыре равнобедренных прямоугольных треугольника с вершинами в центрах квадратов. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru В результате образуется бесконечная конфигурация прямых. ru.wikipedia.org
• Деление каждого квадрата решётки на два треугольника диагональю, при этом диагонали соседних квадратов имеют различное направление. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru
• Наложение двух квадратных мозаик, одна из которых повёрнута на 45 градусов и её масштаб увеличен на √2. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru

Ещё есть операция «kis», которая добавляет точку в центр грани и рёбра от этой точки до вершин грани, разбивая тем самым грани квадратной мозаики на треугольники. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru