Какие существуют способы доказательства теоремы Птолемея о вписанных четырехугольниках?

Некоторые способы доказательства теоремы Птолемея о вписанных четырёхугольниках:

1. Школьное доказательство. 1 На диагонали AC отмечают такую точку X, что ∠ BXC=∠ BAD. 1 Тогда образуются две пары подобных треугольников. 1 Складывая их и умножая на BD, получают требуемое равенство. 1
2. Доказательство с использованием подобия. 1 Правильную точку отмечают не на диагонали четырёхугольника, а на стороне. 1 Например, на продолжении CD за точкой D отмечают такую точку X, что треугольники ADX и ABC подобны (поворотно гомотетичны с центром в точке A). 1 Тогда и треугольники ABD и ACX тоже будут подобны. 1 Вычитая из одного равенства другое и умножая на AB, получают требуемое. 1
3. Доказательство с помощью теоремы Бретшнайдера. 1 В русскоязычной литературе её называют формулой Бретшнайдера или теоремой косинусов для четырёхугольника. 1
4. Доказательство с использованием сторон педального треугольника и прямой Симсона. 13 Утверждение доказывается простым счётом углов. 3