Какие существуют способы доказательства сходимости последовательностей?

Некоторые способы доказательства сходимости последовательностей:

1. Метод предела. otvet.mail.ru Если найти предел последовательности и показать, что он существует и конечен, то это свидетельствует о сходимости. otvet.mail.ru Например, если предел последовательности стремится к нулю, то это говорит о её сходимости. otvet.mail.ru
2. Метод ограниченности. otvet.mail.ru Если показать, что последовательность ограничена сверху или снизу, то это может указывать на её сходимость. otvet.mail.ru Например, если последовательность не превышает некоторую константу при всех значениях, то она, скорее всего, сходится. otvet.mail.ru
3. Метод монотонности. otvet.mail.ru Если последовательность монотонна (например, возрастает или убывает) и ограничена, то она сходится. otvet.mail.ru Можно использовать методы математической индукции или доказательства по определению монотонности для проверки этого свойства. otvet.mail.ru
4. Метод сравнения. otvet.mail.ru Если найти другую последовательность, сходящуюся или расходящуюся, и показать, что исследуемая последовательность подобным образом ведёт себя, то можно сделать вывод о сходимости или расходимости. otvet.mail.ru Например, если исследуемый ряд неотрицательных чисел больше, чем сходящийся ряд, то он будет расходиться. otvet.mail.ru
5. Метод Коши (критерий Коши). otvet.mail.ru www.berdov.com Если показать, что разность между членами последовательности может быть сделана произвольно малой (с точностью до некоторого положительного числа), то это говорит о сходимости. otvet.mail.ru Это требует более технических доказательств и может быть применимо для некоторых последовательностей. otvet.mail.ru

Конкретный выбор метода доказательства сходимости зависит от характеристик исследуемой последовательности. otvet.mail.ru