Несколько способов доказательства ограниченности непрерывной функции:

• Теорема о локальной ограниченности непрерывной функции. 1 Если функция непрерывна в точке a, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки. 45
• Теорема Вейерштрасса. 1 Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена на этом отрезке и достигает на нём своих точной верхней и точной нижней граней. 1
• Применение теоремы Больцано-Вейерштрасса для последовательностей. 2 Для этого последовательно выбирают число C > 0 и находят соответствующие точки x1, x2, …, xn, … такие, что |f(xn)| > n. 2 Эти точки образуют бесконечную последовательность, а так как все они принадлежат отрезку [a, b], эта последовательность является ограниченной. 2 Затем применяют теорему Больцано-Вейерштрасса для последовательностей, согласно которой существует подпоследовательность (xnk) последовательности (xn), сходящаяся к некоторому пределу (c). 2 Получено противоречие с предположением о неограниченности функции на отрезке [a, b]. 2
• Применение теоремы о существовании точных граней ограниченного множества. 2 Для этого к множеству значений функции на отрезке [a, b] применяют теорему о существовании точных граней ограниченного множества. 2