Один из способов доказательства формулы Ньютона-Лейбница — использование понятия интеграла с переменным верхним пределом. 1

Алгоритм: 1

1. Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то значение аргумента x∈a; b, а интеграл имеет вид ∫axf(t)dt и считается функцией верхнего предела. 1
2. Обозначается функция ∫axf(t)dt=Φ(x), она является непрерывной, причём для неё справедливо неравенство ∫axf(t)dt'=Φ'(x)=f(x). 1
3. Φ(x) является одной из первообразных для функции вида y=f(x), расположенной на [a; b]. 1 Иначе выражение можно записать F(x)=Φ(x)+C=∫axf(t)dt+C, где значение C — постоянная. 1
4. Производится вычисление F(a) с использованием первого свойства определённого интеграла. 1 Тогда получается, что F(a)=Φ(a)+C=∫aaf(t)dt+C=0+C=C, отсюда получается, что C=F(a). 1
5. Результат применяется при вычислении F(b) и получается: F(b)=Φ(b)+C=∫abf(t)dt+C=∫abf(t)dt+F(a), иначе говоря, F(b)=∫abf(t)dt+F(a). 1 Равенство доказывает формулу Ньютона-Лейбница. 1

Ещё один способ — введение вспомогательной функции, для чего верхний предел интегрирования заменяют на переменную x, а под знаком интеграла пишут переменную t. 5 Затем к этой функции применяют определение производной как предел разностного отношения. 5 После этого преобразуют числитель формулы, используя свойства определённого интеграла, и применяют теорему о среднем значении для определённого интеграла. 5 Это означает, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для функции f(x). 5 Любая другая первообразная подынтегральной функции отличается от данной первообразной на постоянную, поэтому формула Ньютона-Лейбница доказана. 5