Некоторые способы доказательства асимптотического поведения последовательностей:

• Встречный метод. 1 С помощью индукции строятся две вспомогательные последовательности, одна из которых стремится к меньшей грани утверждения, а другая — к большей. 1 Дальнейшее сравнение этих последовательностей позволяет определить монотонность и предел исходной последовательности. 1
• Непрерывный метод. 1 Используется свойство непрерывности рассматриваемой функции или последовательности. 1 Предполагая несуществование искомого предела, строятся две последовательности, одна из которых стремится к нижней, а другая — к большей грани. 1 Затем доказывается, что построенные последовательности образуют замкнутое и ограниченное множество, что противоречит непрерывности функции или последовательности. 1
• Интегрирование по частям. 2 Асимптотические разложения некоторых интегралов, зависящих от параметра, могут быть получены последовательным интегрированием по частям. 2 Члены асимптотического ряда находятся один за другим повторным применением этой операции, а асимптотический характер полученного ряда затем устанавливается исследованием остаточного члена, который имеет интегральный вид. 2