Некоторые правила отрицания в русском языке при употреблении предлогов:

• После переходных глаголов с отрицанием употребляется как родительный падеж (например: «не читал этой книги»), так и винительный падеж (например: «не читал эту книгу»). 2 Родительный падеж обычно употребляется в предложениях с усиленным отрицанием, при наличии в предложении слова, по смыслу относящегося одновременно к сказуемому и дополнению, а также во фразеологических оборотах. 2 Если прямое дополнение относится не непосредственно к глаголу с отрицанием, а к инфинитиву, зависящему от глагола с отрицанием, то такое дополнение обычно ставится в форме винительного падежа. 2
• Если имеющееся в предложении отрицание стоит не при глаголе, а при другом слове, то дополнение ставится в форме винительного падежа (например: «не часто слушаю музыку», «не вполне усвоил урок»). 2
• После глаголов с приставкой недо-, указывающей на выполнение действия ниже нормы, дополнение обычно ставится в форме винительного падежа (например: «недовыполнить план»). 2

Также есть правило для словосочетаний «несмотря на» и «не взирая на»: когда они пишутся слитно, их нельзя заменить на глаголы с отрицательной частицей «не». 1 В этом случае отрицание является неразрывной частью конструкции и опускается невозможно. 1