В русском языке существуют два правила написания «по-другому» и «по другому»: 13

1. Наречие «по-другому» пишется через дефис. 1 Чтобы убедиться, что перед нами наречие, нужно от глагола задать вопрос «как?» или подобрать подходящий по смыслу синоним, например иначе. 1
2. Если слово является прилагательным с предлогом, то пишется раздельно. 1 Убедиться в этом можно также с помощью вопроса — «по какому?». 1 Также «по другому» можно легко заменить на другое прилагательное, например «по другому каналу» — «по пятому каналу». 1

Таким образом, выбор между написаниями зависит от части речи, которой выступает слово. 1