Некоторые отличия между should и had better в современном английском языке:

• Had better выражает предупреждение или угрозу. 3 Его употребляют в конкретной ситуации, подразумевая, что если не последовать совету, будут негативные последствия в виде проблемы или даже опасности. 2
• Should употребляется для общего совета. 2 Если не последовать совету, негативных последствий, скорее всего, не будет. 2
• Should может выражать как положительные, так и отрицательные рекомендации, в то время как had better обычно используется для отрицательных рекомендаций. 1

Таким образом, had better употребляют в ситуациях, когда за несоблюдение совета будут серьёзные последствия, а should — в менее серьёзных ситуациях. 1