Какие существуют методы поиска и доказательства существования больших простых чисел?

Один из методов поиска больших простых чисел — компьютерный поиск. postnauka.org Нужно многократно проверить, является ли число множителем 2, 3, 4 и так далее. postnauka.org Если число не является множителем любого меньшего числа, оно простое. postnauka.org Однако этот способ очень трудоёмкий, существуют более эффективные методы. postnauka.org

Ещё один метод — «решето Эратосфена». www.rbc.ru Алгоритм по нахождению простых чисел, разработанный греческим математиком Эратосфеном. www.rbc.ru Нужно записать все числа от 2 до N (где N — это верхняя граница, до которой ищут простые числа). www.rbc.ru Затем: www.rbc.ru

1. Начать с первого числа (2). www.rbc.ru Это первое простое число. www.rbc.ru
2. Вычеркнуть все числа, кратные 2 (то есть 4, 6, 8, 10…), так как они не являются простыми. www.rbc.ru
3. Перейти к следующему незачеркнутому числу (это будет 3). www.rbc.ru Это следующее простое число. www.rbc.ru
4. Вычеркнуть все числа, кратные 3 (6, 9, 12, 15…), если они ещё не вычеркнуты. www.rbc.ru
5. Повторить процесс: переходить к следующему незачеркнутому числу, объявить его простым и вычеркнуть все его кратные. www.rbc.ru
6. Остановиться, когда дойдёт до числа, которое больше √N (квадратного корня из N). www.rbc.ru Все оставшиеся незачеркнутые числа будут простыми. www.rbc.ru

Для доказательства существования больших простых чисел используют, например, теорему о распределении простых чисел. dzen.ru Она утверждает, что у наугад выбранного числа от 1 до N шанс оказаться простым асимптотически равен 1 / lnN. dzen.ru Как следствие, простые числа попадаются чем дальше, тем реже. dzen.ru

Также существует доказательство бесконечности простых чисел, предложенное Фурстенбергом. dzen.ru Ещё один пример — доказательство П. Л. Чебышева, согласно которому между любым натуральным числом (не равным 1) и числом, в два раза больше его (т. е. между n и 2n), находится хотя бы одно простое число. nsportal.ru