Один из методов доказательства предела последовательности по определению заключается в выявлении связи между радиусом окрестности и номером, после которого все члены последовательности окажутся в этой окрестности. 4

Для установления факта наличия предела последовательности не нужно находить обязательно наименьшее возможное значение этого номера. 4 Следует сопоставить выбранному значению радиуса хоть какой-нибудь номер, после которого неравенство, определяющее предел, будет обязательно верным. 4

Также для доказательства предела последовательности можно использовать усиление и ослабление неравенств — это распространённые приёмы математического анализа. 2 При этом нужно следить за корректностью тех или иных действий. 2

Ещё один метод — использование метода математической индукции. 1 Доказательство проводится в три этапа: проверка справедливости утверждения для базы индукции, предположение о справедливости при некотором натуральном значении и доказательство для следующего значения, отталкиваясь от индукционного предположения. 1