Какие существуют методы доказательства полноты пространства L1?

Один из методов доказательства полноты пространства L1 заключается в следующем: math.hse.ru

1. Переход от последовательности к ряду. math.hse.ru Пусть последовательность (fn) фундаментальна в L1. math.hse.ru Тогда из неё можно выбрать подпоследовательность fnk так, что |gk| ≤ 1/4k, где gk = fnk+1 − fnk, g1 = fn1. math.hse.ru Нужно доказать, что ряд Σ = ∞ 1 gk сходится почти всюду к некоторому пределу f, причём предел принадлежит L1, и fnk → f в L1. math.hse.ru В силу фундаментальности (fn) отсюда будет следовать fn → f в L1. math.hse.ru
2. Доказательство сходимости ряда почти всюду абсолютно. math.hse.ru Для этого нужно заменить gk на |gk|. math.hse.ru Не меняя обозначений, считают на этом шаге, что gk ≥ 0. math.hse.ru
3. Поимка предела. math.hse.ru Вне множества Y ряд Σ сходится; обозначают предельную функцию через f; доопределяют её на Y как угодно, например, нулём. math.hse.ru Нужно доказать, что f ∈ L1. math.hse.ru

Также для доказательства полноты пространства L1 можно показать, что любая фундаментальная последовательность является сходящейся. sawiki.cs.msu.ru www.cyberforum.ru