Какие существуют методы доказательства неравенства площади треугольника и произведения его сторон?

Несколько методов доказательства неравенства площади треугольника и произведения его сторон:

1. Доказательство через аксиому. obrazovaka.ru Существует аксиома, которая говорит, что для трёх точек А, В, С, не лежащих на одной прямой, справедливо утверждение: АВ < ВС + АС. obrazovaka.ru Эти точки можно принять за вершины треугольника, тогда расстояния между точками — это стороны треугольника. obrazovaka.ru
2. Доказательство через высоту треугольника. obrazovaka.ru В произвольном треугольнике АВС проведём высоту АН. obrazovaka.ru Высота разобьёт произвольный треугольник на два прямоугольных. obrazovaka.ru Тогда для каждого из прямоугольных треугольников в виде неравенств запишем, что катет всегда меньше гипотенузы. obrazovaka.ru Гипотенуза всегда больше катета, потому, что в треугольнике действует отношение сторон и углов. obrazovaka.ru Поэтому напротив наибольшего угла всегда находится наибольшая сторона. obrazovaka.ru А в треугольнике наибольшим углом всегда является угол в 90 градусов. obrazovaka.ru Для каждого из прямоугольных треугольников запишем неравенства: ВН < АВ и НС < АС. obrazovaka.ru Сложим два неравенства. obrazovaka.ru Для этого нужно сложить правые части неравенств и левые с сохранением знака. obrazovaka.ru Теперь проделаем ту же операцию с соотношением сторон в треугольнике: ВН + НС < АВ + АС. obrazovaka.ru Значит, ВС < АВ + АС, то есть сторона меньше суммы двух других сторон, что и требовалось доказать. obrazovaka.ru Высоту можно провести к любой стороне и повторить аналогичное доказательство. obrazovaka.ru
3. Доказательство через систему координат. foxford.ru Рассмотрим треугольник ABC и обозначим угол A как α. foxford.ru Введём прямоугольную систему координат так, что вершина A лежит в начале координат, сторона AC лежит на положительном направлении оси Ox, а вершина B лежит в верхней полуплоскости. foxford.ru Тогда, по формулам координат точки, получаем выражение координат точки B (xB; yB) через угол α: xB = AB|cosα; yB = AB|sinα. foxford.ru Опустим перпендикуляры из точки B на оси координат: BK⊥Ox; BN⊥Oy и рассмотрим прямоугольник KBNA (он прямоугольник по определению, так как три его угла равны 90°). foxford.ru По свойству прямоугольника BK = ON, то есть BK = y_B = AB|sinα. foxford.ru