Какие существуют математические доказательства неравенства длин отрезков и ломаных?

Одно из математических доказательств неравенства длин отрезков и ломаных — теорема о том, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы. vk.com budu5.com

Доказательство: vk.com

1. Пусть А1А2А3…An — данная ломаная. vk.com
2. Заменим звенья А1А2 и А2А3 одним звеном А1А3. vk.com Получим ломаную А1А3А4…An. vk.com
3. Так как по неравенству треугольника А1А3 < А1А2 + А2А3, то ломаная A1A3A4…An имеет длину, не большую, чем исходная ломаная. vk.com
4. Заменяя таким же образом звенья А1А3 и А3А4 звеном А1А4, переходим к ломаной А1А4А5…Аn, которая также имеет длину, не большую, чем исходная ломаная. vk.com
5. И так далее. vk.com
6. В итоге придём к отрезку A1An, соединяющему концы ломаной. vk.com
7. Отсюда следует, что исходная ломаная имела длину, не меньшую длины отрезка A1An. vk.com

При доказательстве используется неравенство треугольника, согласно которому каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. budu5.com textbookxp.budu5u.ru